Question

已知数列{a_n}为等差数列，且a₁=1，a₁，a₂，a₅成等比数列．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若{a_n}为递增数列，设b_n=

1

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设出公差，写出第一、二、五三项的表示式，由三项成等比数列，得到关于公差的方程，解方程，得到公差，写出等差数列的通项．
（2）求出数列{b_n}的通项公式，利用裂项法即可得到结论．

解答： 解：（1）设公差为d，则a₂=1+d，a₅=1+4d，
则1×（1+4d）=（1+d）²，
∴d=2，
∴a_n=2n-1，
（2）∵a_n=2n-1，
∴b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

．

点评：考查的是等差数列和等比数列的定义，把形式很接近的两个数列放在一起考查，同学们一定要分清两者，加以区别，考查数列的通项公式和数列求和，要求熟练掌握裂项法求和，考查学生的运算能力．