Question

已知点M是y=

1

4

x2上一点，F为抛物线的焦点，A在C：（x-1）²+（y-4）²=1上，则|MA|+|MF|的最小值为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：首先求出抛物线上的点到圆上及抛物线的焦点的距离最小的位置，然后根据三点共线求出相应的点的坐标，进一步求出最小值．

解答：
解：如上图所示
利用抛物线的定义知：MP=MF
当M、A、P三点共线时，|MA|+|MF|的值最小
即：CM⊥x轴
CM所在的直线方程为：x=1与y=

1

4

x2建立方程组解得：M（1，

1

4

）
|CM|=4-

1

4

点M到圆C的最小距离为：|CM|-|AC|=3
抛物线的准线方程：y=-1
则：，|MA|+|MF|的值最小值为3+1=4
故答案为：4

点评：本题考查的知识点：圆外一点到圆的最小距离，抛物线的准线方程，三点共线及相关的运算问题．