Question

已知圆C的圆心在坐标原点O，且与直线l₁：x-y-2

2

=0相切．
（1）求直线l₂：4x-3y+5=0被圆C所截得的弦AB的长；
（2）若与直线l₁垂直的直线与圆C交于不同的两点P，Q，且以PQ为直径的圆过原点，求直线的纵截距；
（3）过点G（1，3）作两条与圆C相切的直线，切点分别为M，N，求直线MN的方程．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,圆的切线方程

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）先求出圆C的标准方程，再求直线l₂：4x-3y+5=0被圆C所截得的弦AB的长；
（2）设直线的方程为：y=-x+b联立x²+y²=4，利用x1x 2+y1y2=2x1x 2-b(x1+x2)+b2=0，即可求直线的纵截距；
（3）求出以G点为圆心，线段GM长为半径的圆G方程，与圆C的标准方程相减，即可求直线MN的方程．

解答： 解：（1）由题意得：圆心（0，0）到直线l1：x-y-2

2

=0的距离为圆的半径，r=

2 2

2

=2，
所以圆C的标准方程为：x²+y²=4（2分）
所以圆心到直线l₂的距离d=

22-3

=1（3分）
∴|AB|=2

22-12

=2

3

（4分）
（2）设直线的方程为：y=-x+b联立x²+y²=4得：2x²-2bx+b²-4=0，
设直线与圆的交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由△=（-2b）²-8（b²-4）＞0，得b²＜8，x1+x2=b，x1•x2=

b2-4

2

①（10分）
因为OP⊥OQ，所以

OP

•

OQ

=0，即满足x₁x₂+y₁y₂=0，
又y₁=-x₁+b，y₂=-x₂+b，
所以x1x 2+y1y2=2x1x 2-b(x1+x2)+b2=0②
由①②得b²=4，满足△＞0，即b=2或-2（9分）
（3）因为点G（1，3），所以|OG|=

12+32

=

10

，|GM|=

OG2-OM2

=

6

所以以G点为圆心，线段GM长为半径的圆G方程：（x-1）²+（y-3）²=6③
又圆C方程为：x²+y²=4④，由③-④得直线MN方程：x+3y-4=0（14分）

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．