Question

在实数集R中定义一种运算“*”，?a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
（1）对任意a∈R，a*0=a；
（2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．
关于函数f（x）=（e^x）•

1

ex

的性质，有如下说法：①函数f（x）的最小值为3；②函数f（x）为偶函数；③函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0]．
其中所有正确说法的个数为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,新定义,函数的性质及应用

分析：性质（2）可由性质（1）化简得，a*b=ab+a+b．则f（x）=1+e^x+

1

ex

，由基本不等式，即可判断①；
由奇偶性的定义，求出f（-x），即可判断②；可求出f（x）的导数，令导数不小于0，解出即可判断③．

解答： 解：由于对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0），
则由对任意a∈R，a*0=a，可得a*b=ab+a+b．
则有f（x）=（e^x）•

1

ex

=e^x•

1

ex

+e^x+

1

ex

=1+e^x+

1

ex

对于①，由于定义域为R，则e^x＞0，1+e^x+

1

ex

≥1+2

ex• 1 ex

=3，
当且仅当e^x=

1

ex

，即有x=0，f（x）取最小值3，故①对；
对于②，由于定义域为R，关于原点对称，且f（-x）=1+e^-x+

1

e-x

=1+e^x+

1

ex

=f（x），
则f（x）为偶函数，故②对；
对于③，f′（x）=e^x-e^-x，令f′（x）≥0，则x≥0，即f（x）的单调递增区间为[0，+∞），故③错．
故选：C．

点评：本题是一个新定义运算型问题，考查了函数的最值、奇偶性、单调性等有关性质以及同学们类比运算解决问题的能力．