Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，设S为△ABC的面积，且S=

3

4

（a²+b²-c²）．
（1）求角C的大小；
（2）当cosA+cosB取得最大值时，判断△ABC的形状．

Answer 1

考点：三角形的形状判断,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用余弦定理得a²+b²-c²=2abcosC，将S=

3

4

（a²+b²-c²）与S=

1

2

absinC，联立即可求得tanC=

3

，而C∈（0，π），从而可得角C的大小；
（2）cosA+cosB=cosA+cos（

2π

3

-A），利用两角差的余弦与两角和的正弦可求得当cosA+cosB取得最大值时，A的值，从而可判断△ABC的形状．

解答： 解：（1）在△ABC中，由余弦定理可得a²+b²-c²=2abcosC，
∴S=

3

4

（a²+b²-c²）=

3

4

×2abcosC=

3

2

abcosC；
又S=

1

2

absinC，
∴tanC=

3

，C∈（0，π），
∴C=

π

3

；
（2）cosA+cosB=cosA+cos（

2π

3

-A）=cosA+cos

2π

3

cosA+sin

2π

3

sinA=

1

2

cosA+

3

2

sinA=sin（A+

π

6

）≤1，
当A=

π

3

时，cosA+cosB取得最大值1，
此时△ABC为等边三角形．

点评：本题考查三角形形状的判断，着重考查余弦定理、正弦定理的综合应用，考查两角和与差的正弦、余弦，属于中档题．