Question

6．已知函数f（x）=lnx，g（x）=（x-1）f′（x），其中f′（x）是f（x）的导函数．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（e，1）处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）在[3，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导函数，得到f′（e）=$\frac{1}{e}$，再求出f（e）=lne=1，利用直线方程的点斜式求得曲线y=f（x）在点（e，1）处的切线方程；
（Ⅱ）求出g（x）代入f（x）≥ag（x），分离参数a，构造函数h（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$（x≥3），利用导数求其最小值得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$，则f′（e）=$\frac{1}{e}$．
又f（e）=lne=1，
∴求曲线y=f（x）在点（e，1）处的切线方程为y-1=$\frac{1}{e}（x-e）$，
即x-ey=0；
（Ⅱ）g（x）=（x-1）f′（x）=$（x-1）•\frac{1}{x}=1-\frac{1}{x}$，
f（x）≥ag（x）在[3，+∞）上恒成立，
即lnx≥a（1-$\frac{1}{x}$）在[3，+∞）上恒成立，
也就是a≤$\frac{xlnx}{x-1}$在[3，+∞）上恒成立，
令h（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$（x≥3），
h′（x）=$\frac{（lnx+1）（x-1）-xlnx}{（x-1）^{2}}$=$\frac{x-lnx-1}{（x-1）^{2}}$．
令t（x）=x-lnx-1，则t′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$＞0，
∴t（x）在[3，+∞）上单调递增，又t（3）=2-ln3＞0，
∴h′（x）＞0在[3，+∞）上恒成立，
即$h（x）_{min}=h（3）=\frac{3ln3}{2}$．
∴a≤$\frac{3ln3}{2}$．
∴实数a的取值范围是（-∞，$\frac{3ln3}{2}$]．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，体现了分离参数方法的应用，是中档题．