Question

14．如图所示，三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，D是线段AB的中点，DE∩PB=E，且DE⊥AB，若∠EDC=120°，PA=$\frac{3}{2}$，PB=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为13π．

Answer 1

分析 由题意得PA²+PB²=AB²，即可得D为△PAB的外心，在CD上取点O₁，使O₁为等边三角形ABC的中心，在△DEC中，过D作直线与DE垂直，过O₁作直线与DC垂直，两条垂线交于点O，则O为球心，在△DEC中求解OC，即可得到球半径，

解答 解：由题意，PA²+PB²=AB²，因为$\left\{\begin{array}{l}{AB⊥DE}\\{AB⊥DC}\\{ED∩DC=D}\end{array}\right.$，∴AD⊥面DEC，
∵AD?PAB，AD?ABC，∴面APB⊥面DEC，面ABC⊥面DEC，
在CD上取点O₁，使O₁为等边三角形ABC的中心，
∵D为△PAB斜边中点，∴在△DEC中，过D作直线与DE垂直，过O₁作直线与DC垂直，两条垂线交于点O，则O为球心．
∵∠EDC=90°，∴$∠OD{O}_{1}=3{0}^{0}$，
又∵$D{O}_{1}=\frac{1}{3}CD=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴OO₁=$\frac{1}{2}$，三棱锥P-ABC的外接球的半径R=$\sqrt{O{{O}_{1}}^{2}+C{{O}_{1}}^{2}}=\frac{\sqrt{13}}{2}$，
三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4πR²=13π，
故答案为：13π．

点评 本题考查了几何体的外接球的表面积，解题关键是要找到球心，求出半径，属于难题．