Question

20．武汉地铁4号线每6分钟一趟列车，小明同学每天早晚两次乘地铁上学与回家，每周一至周五上五天学，如果某天至少有一次等车时间不超过2分钟，则称该天为“风顺”天
（1）求小明某天恰有一次等车时间不超过2分钟的概率；
（3）记X为小明一周中“风顺”天的天数，求X的数学期望．

Answer 1

分析 （1）由题可知，是与区间长度有关的几何概率的求解，每隔6分钟就有一趟车经过构成全部区域，长度为10，基本事件所构成的区王等车时间不超过2分钟，长度为2，代入公式可求；
（2）可知小明一周中“风顺”天的天数X服从二项分布，然后根据二项分布的数学期望公式解之即可．

解答 解：（1）由题可知，是与区间长度有关的几何概率的求解，设每次等车时间不超过2分钟的概率为P₀，
每隔6分钟就有一趟车经过构成全部区域，长度为6，
基本事件所构成的区域是小明某次等车时间不超过2分钟，长度为2，
代入公式可得P₀=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$；
某天恰有一次等车时间不超过2分钟的概率：P=${C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{9}$；
（2）某天为“风顺”天的概率为：P₂=${C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{9}$；
依题意得，X～B（5，$\frac{5}{9}$）
∴EX=5×$\frac{5}{9}$=$\frac{25}{9}$

点评 本题主要考查了与区间长度有关的几何概率的求解，离散型随机变量的概率分布，同时考查了计算能力，属于中档题．