Question

8．已知：如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，对角线AC、BD交于点E，直线AP是圆O的切线，切点为A，∠PAB=∠BAC．
（1）求证：AB²=BD•BE；
（2）若∠FED=∠CED，求证：点A、B、E、F四点共圆．

Answer 1

分析 （1）证明△ABD∽△EBA，即可证明AB²=BD•BE；
（2）证明∠BAF+∠BEF=∠BAD+∠BEF=∠FED+∠BEF=180°，即可证明点A、B、E、F四点共圆．

解答 证明：（1）∵直线AP是圆O的切线，切点为A，
∴∠PAB=∠ADB，
∴∠PAB=∠BAC，
∴∠ADB=∠BAC，
∵∠ABD=∠EBA，
∴△ABD∽△EBA，
∴$\frac{AB}{EB}$=$\frac{BD}{BA}$，
∴AB²=BD•BE；
（2）由（1）可知∠BAD=∠BEA，
∵∠BEA=∠CED，∠FED=∠CED，
∴∠BAD=∠FED，
∴∠BAF+∠BEF=∠BAD+∠BEF=∠FED+∠BEF=180°
∴点A、B、E、F四点共圆．

点评 本题考查三角形相似的证明，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．