Question

12．在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，C=$\frac{3π}{4}$，且sinB=2sinA•cos（A+B）．
（1）证明：b²=2a²；
（2）若△ABC的面积是1，求边c．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理、诱导公式即可得出．
（2）利用三角形面积计算公式可得：ab=2$\sqrt{2}$．与b²=2a²联立，解得a，b．再利用余弦定理即可得出．

解答 （1）证明：∵sinB=2sinA•cos（A+B），∴b=2a（-cosC），∴b=-2a×$（-\frac{\sqrt{2}}{2}）$，∴b²=2a²．
（2）解：∵S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$ab=1，化为ab=2$\sqrt{2}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{ab=2\sqrt{2}}\\{{b}^{2}=2{a}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{2}$，b=2．
∴${c}^{2}=（\sqrt{2}）^{2}+{2}^{2}-2×\sqrt{2}×2×cos\frac{3π}{4}$=10，
解得c=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．