Question

已知椭圆C：4x²+y²=1及直线l：y=x+m，m∈R．
（1）当m为何值时，直线l与椭圆C有公共点？
（2）若直线l被椭圆C截得的弦长为

2 2

5

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）将直线的方程y=x+m与椭圆的方程4x²+y²=1联立，得到5x²+2mx+m²-1=0，利用△=-16m²+20≥0即可求得m的取值范围；
（2）联立直线方程和椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由弦长公式，解得m，即可得到直线方程．

解答： 解：（1）把直线y=x+m代入椭圆方程得：4x²+（x+m）²=1，
即：5x²+2mx+m²-1=0，
△=（2m）²-4×5×（m²-1）=-16m²+20≥0
解得：-

5

2

≤m≤

5

2

；
（2）设该直线与椭圆相交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁，x₂是方程5x²+2mx+m²-1=0的两根，由韦达定理可得：
x₁+x₂=-

2m

5

，x₁x₂=

m2-1

5

，
|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+1

•

(- 2m 5 )2- 4(m2-1) 5

=

2 2

5

，解得，m=±1．检验成立．
则所求直线的方程是：y=x+1或y=x-1．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系与弦长问题，难点在于弦长公式的灵活应用，属于中档题．