Question

用行列式讨论关于x，y的二元一次方程组

mx+4y=m+2 x+my=m

的解的情况，并说明各自的几何意义．

Answer 1

考点：逆矩阵与二元一次方程组

专题：矩阵和变换

分析：首先，分情况当m≠±2、m=-2、m=2三种情形进行讨论，几何意义：分m≠±2、m=-2、m=2三种情形说明．

解答： 解：D=

.

m 4 1 m

.

=(m-2)(m+2)，Dx=

.

m+2 4 m m

.

=m(m-2)，Dy=

.

m m+2 1 m

.

=(m-2)(m+1)
（1）当m≠±2时，D≠0方程组有唯一解，此时

x= Dx D y= Dy D

，即

x= m m+2 y= m+1 m+2

；
（2）当m=2时，D=D_x=D_y=0，方程组有无穷多组解，通解可表示为

x=t y= 2-t 2

（t∈R），
（3）当m=-2时，D=0，D_x≠0，D_y≠0，此时方程组无解．
几何意义：设l₁：mx+4y=m+2，l₂：x+my=m
当m≠±2时，方程组唯一解，则直线l₁与l₂相交；
当m=-2时，方程组无解，则直线l₁与l₂平行；
当m=2时，方程组无穷多解，则直线l₁与l₂重合．

点评：本题重点考查了方程组与行列式之间的关系，分类讨论思想及其应用等知识，属于中档题．解题关键是分类中如何划分“类”．