Question

2．已知集合A={x|-1＜x＜4}，$B=\left\{{x\left|{-5＜x＜\frac{3}{2}}\right.}\right\}$，C={x|1-2a＜x＜2a}．
（1）求A∩B，A∪B；
（2）若集合C=∅，求实数a的取值范围；
（3）若C⊆（A∩B），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据交集以及并集的运算性质求出A、B的交集和并集即可；
（2）由C=∅，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可确定出实数a的取值范围；
（3）分C为空集与C不为空集两种情况，根据C为A与B交集的子集求出a的范围即可．

解答 解：（1）∵A={x|-1＜x＜4}，$B=\left\{{x\left|{-5＜x＜\frac{3}{2}}\right.}\right\}$，
∴A∩B={x|-1＜x＜$\frac{3}{2}$}，A∪B={x|-5＜x＜4}；
（2）∵C={x|1-2a＜x＜2a}=∅，
∴1-2a≥2a，即a≤$\frac{1}{4}$，
则实数a的取值范围是（-∞，$\frac{1}{4}$]；
（3）当C=∅时，由（Ⅰ）知a≤$\frac{1}{4}$；
当C≠∅时，A∩B={x|-1＜x＜$\frac{3}{2}$}，且C⊆（A∩B），
则有 $\left\{\begin{array}{l}{1-2a＜2a}\\{2a≤\frac{3}{2}}\\{1-2a≥-1}\end{array}\right.$，解得：$\frac{1}{4}$＜a≤$\frac{3}{4}$，
综上，实数a的取值范围是（-∞，$\frac{3}{4}$]．

点评 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．