Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c-b）cosA=acosB．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=4，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由正弦定理和三角函数公式可得cosA=

1

2

，可得A=

π

3

；
（2）由余弦定理结合基本不等式可得16=b²+c²-bc≥2bdc-bc，可得bc的最大值为16，进而可得△ABC的面积的最大值．

解答： 解：（1）∵（2c-b）cosA=acosB，
∴由正弦定理可得（2sinA-sinB）cosA=sinAcosB，
变形可得2sinCcosA=sinBcosA+sinAcosB=sin（A+B）=sinC，
∵C为三角形的内角，sinC≠0，∴cosA=

1

2

，A=

π

3

；
（2）由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，
代入数据可得16=b²+c²-bc≥2bdc-bc，∴bc≤16
当且仅当b=c时取等号，
∴△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤4

3

，
当且仅当b=c时取等号，
∴△ABC的面积的最大值为4

3

点评：本题考查正余弦定理，涉及基本不等式求最值，属比较基础题．