Question

三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．

（1）证明：P是线段BC的中点；
（2）求二面角A-NP-M的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定,用空间向量求平面间的夹角

专题：空间向量及应用

分析：（1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，
（2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角A-NP-M的余弦值．

解答： 解：（1）由三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A-BCD中：
平面ABD⊥平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2
设O为BD的中点，连接OA，OC
于是OA⊥BD，OC⊥BD 所以BD⊥平面OAC⇒BD⊥AC
因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以MN∥BD，MN⊥NP，故BD⊥NP
假设P不是线段BC的中点，则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线
从而BD⊥平面ABC，这与∠DBC=60°矛盾，所以P为线段BC的中点
（2）以O为坐标原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，

3

），M（-

1

2

，O，-

3

2

），N（

1

2

，0，

3

2

），P（

1

2

，

3

2

，0）
于是

AN

=(

1

2

，0，

3

2

)，

PN

=(0，

3

2

，

3

2

)，

MN

=(1，0，0)
设平面ANP和平面NPM的法向量分别为

m

=(x1，y1，z1)和

n

=(x2，y2，z2)
由

AN• m =0 PN• m =0

，则

1 2 x1- 3 2 z1=0 - 3 2 y1+ 3 2 z1=0

，设z₁=1，则

m

=(

3

，1，1)
由

MN • n =0 PN • n =0

，则

x2=0   - 3 2 y2+ 3 2 z2=0

，设z₂=1，则

n

=(0，1，1)
cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m | | n |

=

2

5 • 2

=

10

5

所以二面角A-NP-M的余弦值

10

5

点评：本题考查线线的位置关系，考查二面角知识的应用，解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤，属于中档题．