Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，直线y=x被椭圆C截得的线段长为

4 10

5

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．
（i）设直线BD，AM的斜率分别为k₁，k₂，证明存在常数λ使得k₁=λk₂，并求出λ的值；
（ii）求△OMN面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由椭圆离心率得到a，b的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则a的值可求，进一步得到b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）（i）设出A，D的坐标分别为（x₁，y₁）（x₁y₁≠0），（x₂，y₂），用A的坐标表示B的坐标，把AB和AD的斜率都用A的坐标表示，写出直线AD的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到AD横纵坐标的和，求出AD中点坐标，则BD斜率可求，再写出BD所在直线方程，取y=0得到M点坐标，由两点求斜率得到AM的斜率，由两直线斜率的关系得到λ的值；
（ii）由BD方程求出N点坐标，结合（i）中求得的M的坐标得到△OMN的面积，然后结合椭圆方程利用基本不等式求最值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知，

c

a

=

a2-b2

a

=

3

2

，则a²=4b²．
∴椭圆C的方程可化为x²+4y²=a²．
将y=x代入可得x=±

5 a

5

，
因此

2

×

2 5 a

5

=

4 10

5

，解得a=2．
则b=1．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）（i）设A（x₁，y₁）（x₁y₁≠0），D（x₂，y₂），
则B（-x₁，-y₁）．
∵直线AB的斜率kAB=

y1

x1

，
又AB⊥AD，
∴直线AD的斜率kAD=-

x1

y1

．
设AD方程为y=kx+m，
由题意知k≠0，m≠0．
联立

y=kx+m x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．
∴x1+x2=-

8mk

1+4k2

．
因此y1+y2=k(x1+x2)+2m=

2m

1+4k2

．
由题意可得k1=

y1+y2

x1+x2

=-

1

4k

=

y1

4x1

．
∴直线BD的方程为y+y1=

y1

4x1

(x+x1)．
令y=0，得x=3x₁，即M（3x₁，0）．
可得k2=-

y1

2x1

．
∴k1=-

1

2

k2，即λ=-

1

2

．
因此存在常数λ=-

1

2

使得结论成立．
（ii）直线BD方程为y+y1=

y1

4x1

(x+x1)，
令x=0，得y=-

3

4

y1，即N（0，-

3

4

y1）．
由（i）知M（3x₁，0），
可得△OMN的面积为S=

1

2

×3×|x1|×

3

4

|y1|=

9

4

|

x1

2

||y1|≤

9

8

(

x12

4

+y12)=

9

8

．
当且仅当

|x1|

2

=|y1|=

2

2

时等号成立．
∴△OMN面积的最大值为

9

8

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是压轴题．