Question

已知函数f（x）=kx-

1

x

，且f（1）=1．
（1）求实数k的值及函数的定义域；
（2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（1）=1，代入求出即可；（2）由（1）求出函数的表达式，利用定义法证出即可．

解答： （1）解：∵f（1）=1，
∴k-1=1，k=2，
∴f（x）=2x-

1

x

，定义域为：{x|x≠0}；
（2）证明：设?x₁＜x₂＜0，
f（x₁）-f（x₂）
=2x₁-

1

x1

-（2x₂-

1

x2

）
=（x₁-x₂）（2+

1

x1x2

），
∵x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，0）上是增函数，
同理可证：f（x）在（0，+∞）上是增函数．

点评：本题考查了函数的单调性，利用定义证明是判断函数的单调性的方法之一，本题是一道基础题．