Question

甲、乙两村合用一个变压器，如图所示，若两村用同型号线架设输电线路，问：变压器设在输电干线何处时，所需电线最短？

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：应用题,导数的综合应用

分析：设CD=x（km），则CE=3-x（km），由题意得所需电线的长，利用导数知识进行解决．

解答： 解：设CD=x（km），则CE=3-x（km）．
由题意得所需电线的长为l=AC+BC=

1+x2

+

1.52+(3-x)2

（0≤x≤3）．
l′=

2x

2 1+x2

+

-2(3-x)

2 1.52+(3-x)2

．
令l′=0，则

x

1+x2

-

3-x

1.52+(3-x)2

=0，
即

x

1+x2

=

3-x

1.52+(3-x)2

，
得

x2

1+x2

=

(3-x)2

1.52+(3-x)2

，
即1.5²x²+x²（3-x）²=（3-x）²+x²（3-x）²，
∴1.5²x²=（3-x）²，∴1.5x=±（3-x），
解得x=1.2或x=-6（舍去），经检验x=1.2为函数的最小值点，
故当CD=1.2 km时所需电线最短．

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，确定函数模型是关键．