Question

已知函数f（x）=x²-2x+3在[a，a+2]上的最大值为6，求实数a的值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：通过解方程找出对应的自变量的取值，再根据两端点到对称轴的距离进行判断，从而得解，结合函数图象使问题一目了然．

解答： 解；∵f′（x）=2x-2，令2x-2=0，解得：x=1，
∴定义域被分成（-∞，1）和[1，+∞）两部分；
①若a+2≤1，即a≤-1时，f（x）=x²-2x+3在[a，a+2]上单调递减，
∴f（x）_max=f（a）=a²-2a+3=6，
解得a=-1或a=3（舍）；
②当-1＜a＜0时，f（x）=x²-2x+3在[a，1]上单调递减，
∴f（x）_max=f（a）=a²-2a+3=6，解得a=-1（舍）或a=3（舍）；
∵-1＜a＜0，∴1＜a+2＜2，f（x）=x²-2x+3在[1，a+2]上单调递增，
∴f（x）_max=f（a+2）=（a+2）²-2（a+2）+3=6，
解得a=1（舍）或a=-3（舍）
③当a=0时，f（x）=x²-2x+3在[0，2]上，f（0）=f（2）最大，最大值为3，不合题意；
④当0＜a＜1时，f（x）=x²-2x+3在[a，1]上单调递减，
∴f（x）_max=f（a）=a²-2a+3=6，解得a=-1（舍）或a=3（舍）；
∵0＜a＜1，∴2＜a+2＜3，f（x）=x²-2x+3在[1，a+2]上单调递增，
∴f（x）_max=f（a+2）=（a+2）²-2（a+2）+3=6，
解得a=1（舍）或a=-3（舍）
⑤当a≥1时，f（x）=x²-2x+3在[a，a+2]上单调递增，
∴f（x）_max=f（a+2）=（a+2）²-2（a+2）+3=6，
解得a=1或a=-3（舍）
综上所述，a=1或a=-1．

点评：本题是求二次函数在闭区间上的最值问题，是一道基础题，解题时注意数形结合．