Question

已知函数f（x）=

3

sinωxcosωx-

1

2

cos2ωx，ω＞0，x∈R且函数f（x）的最小正周期为π．
（1）求ω的值和函数f（x）的单调增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，又f（

A

2

+

π

3

）=

4

5

，b=1，△ABC的面积等于3，求边长a的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：计算题,综合题,三角函数的图像与性质

分析：（1）对函数解析式化简，进而根据已知的周期求得ω，得到函数解析式，利用三角函数的性质求得函数的单调增区间．
（2）把已知条件代入可求得cosA的值，求得sinA，然后利用面积公式求得c，最后利用余弦定理求得答案．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sinωxcosωx-

1

2

cos2ωx
=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx
=sin（2ωx-

π

6

）
∵T=

2π

2ω

=π
∴ω=1，
∴f（x）=sin（2x-

π

6

），当2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

时（k∈Z），
即kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z），函数单调增．
∴ω=1．函数f（x）的单调增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）．
（2）∵f（

A

2

+

π

3

）=sin[2（

A

2

+

π

3

）-

π

6

]=sin（A+

π

2

）=

4

5

，
∴cosA=

4

5

∴sinA=

1-cos 2A

=

3

5

∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

•1•c•

3

5

=3
∴c=10
∴a=

b2+c2-2bccosA

=

1+100-2×1×10× 4 5

=

85

．

点评：本题主要考查了三角函数的恒等变换，余弦定理解三角形．