Question

如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=-x+4与x轴交与点A，过点A的抛物线y=ax²+bx与直线y=-x+4交与另一点B，B的横坐标为1．
（1）点C为抛物线的顶点，点D为直线AB上一点，点E为该抛物线上一点，且D、E两点的纵坐标都为1，求△CDE面积．
（2）如图2，P为直线AB上方的抛物线上一点（点P不与点A、B重合），PM⊥x轴于点M，交线段AB于点F，PN∥AB，交x轴于点N，过点F作FG∥x轴，交PN于点G，设点M的坐标为（m，0），FG的长度为d，求d与m之间的函数关系式及FG长度的最大值，且求出此时P点坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）令y=0，可得A（4，0），令x=1，可得B（1，3），再代入抛物线方程，得到方程组，解出a，b，即可得到抛物线方程，进而得到C，D，E的坐标，再由面积公式，即可得到△CDE面积；
（2）由M的坐标，即可得到P，F的坐标，再由PN∥AB，得到直线PN的方程，即可得到G的坐标，即可得到距离d，再由m∈（1，4），求出最大值，以及点P的坐标．

解答： 解：（1）由于直线y=-x+4与x轴交于点A，则A（4，0）．
由于过点A的抛物线y=ax²+bx与直线y=-x+4交于另一点B，B的横坐标为1，
则B（1，3）．
由

16a+4b=0 a+b=3

，解得

a=-1 b=4

，
则有抛物线y=-x²+4x，
即有顶点C（2，4），D（3，1），E（2±

3

，1）
则S_△DEC=

1

2

×3×|2±

3

-3|=

3

2

（

3

±1）；
（2）由于M的坐标为（m，0），
则P（m，4m-m²），F（m，4-m），
由于PN∥AB，
则直线PN：y-4m+m²=-（x-m），即y=-x+5m-m²，
当y=4-m时，x=6m-m²-4，
即有G的坐标为（6m-m²-4，4-m），
则d=|6m-m²-4-m|=|-m²+5m-4|，
由于m∈（1，4），
则-m²+5m-4＞0
则有，d=-m²+5m-4．
当m=

5

2

时，d_max=-

25

4

+

25

2

-4=

9

4

，
把m=

5

2

代入得P点坐标（

5

2

，

15

4

）．

点评：本题考查抛物线的方程和运用，考查直线方程及运用，考查运算能力，属于中档题．