Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n满足S_n=2a_n-2．
（1）求{a_n}的通项；
（2）若{b_n}满足b₁=1，

bn+1

n+1

-

bn

n

=1，求数列{a_n

bn

}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据S_n=2a_n-2，n∈N^*得到当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2，两式相减得a_n=2a_n-1，求出首项，再求出等差数列{a_n}的通项公式；
（2）利用题意和等比数列的定义，求出数列{b_n}的通项公式，再求出a_n

bn

，利用错位相减法能求出数列{a_n

bn

}的前n项和．

解答： 解：（1）由题意得，S_n=2a_n-2，
则当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2，
两式相减得a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1，
令n=1得，a₁=2a₁-2，解得a₁=2，
因此{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
所以a_n=2×2^n-1=2ⁿ；
（2）因为

bn+1

n+1

-

bn

n

=1，b₁=1，
所以数列{

bn

n

}是首项为1，公差为1的等差数列，
则

bn

n

=1+（n-1）×1=n，即bn=n2，
所以an

bn

=2n•

n2

=n•2ⁿ，
设数列{a_n

bn

}的前n项和为T_n，
则T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ    ①，
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹   ②，
①-②得，-T_n=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n×2n+1=（-n+1）•2ⁿ⁺¹-2
所以T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
故数列{a_n

bn

}的前n项和是（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查数列的S_n与a_n的关系式的应用，等差、等比数列的定义、通项公式，以及数列的前n项和的求法：错位相减法的合理运用．