Question

设函数f（x）=x³+

b

2

x2+cx，(b，c∈R)
（1）b=2，c=-1，求y=|f（x）|的单调增区间；
（2）b=6，g（x）=|f（x）|，若g（x）≤kx对一切x∈[0，2]恒成立，求k的最小值h（c）的表达式．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,选作题,导数的综合应用

分析：（1）由题意，f（x）=x³+x²-x=x（x-

-1- 5

2

）（x-

-1+ 5

2

），从而写出y=|f（x）|的表达式，对函数f（x）求导并由导数说明函数f（x）的单调性，进而有函数图象的变换写出函数的单调增区间；
（2）由题意，f（x）=x³+3x²+cx，若x=0，则对任意k，都有g（0）=0≤k•0成立；若x≠0，则即x∈（0，2]时，通过独立参数法化g（x）≤kx为k≥|x²+3x+c|，令m（x）=x²-3x+c，从而求|x²+3x+c|在[0，2]上的最大值，则将g（x）≤kx对一切x∈[0，2]恒成立化为k≥，|x²+3x+c|_max，从而求出k的取值范围，再求k的最小值h（c）的表达式．

解答： 解：（1）由题意，f（x）=x³+x²-x=x（x-

-1- 5

2

）（x-

-1+ 5

2

），
则y=|f（x）|=

x3+x2-x，x∈[ -1- 5 2 ，0]∪[ -1+ 5 2 ，+∞) -x3-x2+x，x∈(-∞， -1- 5 2 )∪(0， -1+ 5 2 )

，
又∵f′（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1），
∴f（x）=x³-x²-x在（-∞，-1）上是增函数，在（-1，

1

3

）上是减函数，在（

1

3

，+∞）上是增函数，
∴y=|f（x）|的单调增区间有：（

-1- 5

2

，-1），（0，

1

3

），（

-1+ 5

2

，+∞）；
（2）由题意，f（x）=x³+3x²+cx，
若x=0，则对任意k，都有g（0）=0≤k•0成立；
若x≠0，则即x∈（0，2]时，
g（x）≤kx可化为k≥|x²+3x+c|，
令m（x）=x²+3x+c=（x+

3

2

）²-

9

4

+c，
∴m（x）=（x+

3

2

）²-

9

4

+c在[0，2]上的最小值为
m（0）=c，最大值为m（2）=7+c，
则当|c|＞|7+c|，即c＜-3.5时，|x²+3x+c|_max=|c|=-c，
当|c|≤|7+c|，即c≥-3.5时，|x²-3x+c|_max=|7+c|=7+c，
则k≥|x²+3x+c|，对一切x∈（0，2]恒成立可化为，
当c＞-3.5时，k≥-c；当c≤-3.5时，k≥7+c；
则k的最小值h（c）=

-c，c＜-3.5 7+c，c≥-3.5

．

点评：本题考查导数的综合应用，同时考查了函数图象的变换应用及恒成立问题的处理方法，化简与思路都比较难，属于难题．