Question

下列四个命题：
①集合{a₁，a₂，a₃，a₄}的真子集的个数为15；
②（2

x

-

1

x

）⁶的二项展开式中的常数项为160；
③

∫

1 -1

（sin²⁰¹³x+

1-x2

）dx=

π

2

④已知x∈R，条件p：x²＜x，条件q：

1

x

≥1，则p是q的充分必要条件，
其中真命题的个数是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：导数的概念及应用,简易逻辑,二项式定理

分析：①易知集合{a₁，a₂，a₃，a₄}的真子集的个数为2⁴-1个，从而可判断①的正误；
②利用二项展开式的通项公式可求得（2

x

-

1

x

）⁶的二项展开式中的常数项，从而可判断②的正误；
③利用微积分基本定理可求得

∫

1 -1

（sin²⁰¹³x+

1-x2

）dx=

π

2

，从而可判断③的正误；
④由充分条件与必要条件的概念可判断④的正误．

解答： 解：①集合{a₁，a₂，a₃，a₄}的真子集的个数为2⁴-1=15，故①对；
②（2

x

-

1

x

）⁶的二项展开式中的通项为

C

r 6

(2

x

)6-r(-

1

x

)r=

C

r 6

•22^6-r2^6-r•（-1）^r•（

x

）^6-2r
=

C

r 6

•2^6-r•（-1）^r•x^3-r，令r=3，则

C

3 6

•2³•（-1）³=-160，故②错；
③

∫

1 -1

（sin²⁰¹³x+

1-x2

）dx=

∫

1 -1

sin²⁰¹³xdx+

∫

1 -1

1-x2

dx，
∵y=sin²⁰¹³x为区间[-1，1]上的奇函数，
∴

∫

1 -1

sin²⁰¹³xdx=

∫

0 -1

sin²⁰¹³xdx+

∫

1 0

sin²⁰¹³xdx=0，
又y=

1-x2

表示以原点（0，0）为圆心，1为半径的上半圆，故

∫

1 -1

1-x2

dx=

π

2

，
故

∫

1 -1

（sin²⁰¹³x+

1-x2

）dx=

π

2

，即③对；
④已知x∈R，条件p：x²＜x，⇒0＜x＜1；
条件q：

1

x

≥1?

1-x

x

≥0⇒0＜x≤1，则p是q的充分不必要条件，故④错误．
综上所述，真命题的个数是2个，
故答案为：2．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查二项展开式定理，微积分基本定理及充分条件与必要条件的概念及其应用，属于难题．