Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=1且a_n、a_n+1是函数f（x）=x²-b_nx+2ⁿ的两个零点，则b₁₀等于

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：由根与系数关系得到a_n•a_n+1=2ⁿ，取n=n+1后再得一式，两式相除，可得数列{a_n}中奇数项成等比数列，偶数项也成等比数列，求出a₁₀，a₁₁后，可求b₁₀．

解答： 解：由已知得，a_n•a_n+1=2ⁿ，
∴a_n+1•a_n+2=2ⁿ⁺¹，
两式相除得

an+2

an

=2．
∴a₁，a₃，a₅，…成等比数列，a₂，a₄，a₆，…成等比数列．
而a₁=1，a₂=2，
∴a₁₀=2×2⁴=32，a11=1×25=32，
又a_n+a_n+1=b_n，所以b₁₀=a₁₀+a₁₁=64．
故答案为：64．

点评：本题考查了韦达定理的应用，等比数列的判定及通项公式求解，考查转化、构造、计算能力，是中档题．