Question

对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]，（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”，现有四个函数：
①f（x）=x²；
②f（x）=sin（

π

2

x）；
③f（x）=lnx
④f（x）=x³-3x
其中存在“稳定区间”的函数为（　　）

• A、①
• B、①②
• C、①②③
• D、①②④

Answer 1

考点：函数的值域

专题：新定义

分析：是否存在稳定区间，即方程f（x）=x在给定区间内是否存在两个不相相等的实数根，如果存在，即存在稳定区间，否则就不存在．

解答： 解：①如取区间[0，1]，所以①正确；
②如取区间[0，1]，所以②正确；
③令g（x）=f（x）-x=lnx-x，则g′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴g（x）≤g（1）=-1＜0，∴g（x）没有零点，即不存在稳定区间；
④存在稳定区间[0，2]，所以④正确．
故选：D．

点评：对于新定义题目，读懂题意，理解题意是关键，这种题型在近几中经常出现，所以平时要多多接触．