Question

3．将曲线的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=4\sqrt{t}+\frac{1}{{\sqrt{t}}}\\ y=4\sqrt{t}-\frac{1}{{\sqrt{t}}}\end{array}\right.（t$为参数）化为普通方程为（　　）

• A． x²+y²=16
• B． x²+y²=16（x≥4）
• C． x²-y²=16
• D． x²-y²=16（x≥4）

Answer 1

分析 根据基本不等式的性质，求得x的取值范围，分别将x及y平方作差得：x²-y²=16，即可求得答案．

解答 解：由曲线的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=4\sqrt{t}+\frac{1}{{\sqrt{t}}}\\ y=4\sqrt{t}-\frac{1}{{\sqrt{t}}}\end{array}\right.（t$为参数），分别将x及y平方作差：则x²-y²=（4$\sqrt{t}$+$\frac{1}{\sqrt{t}}$）²-（4$\sqrt{t}$-$\frac{1}{\sqrt{t}}$）²=16t+8$\sqrt{t}$×$\frac{1}{\sqrt{t}}$+$\frac{1}{t}$-（16t-8$\sqrt{t}$×$\frac{1}{\sqrt{t}}$+$\frac{1}{t}$）=16，
由x=4$\sqrt{t}$+$\frac{1}{\sqrt{t}}$≥2$\sqrt{4\sqrt{t}×\frac{1}{\sqrt{t}}}$=4，即x≥4，
曲线转化成普通方程：x²-y²=16（x≥4），
故选：D．

点评 本题考查双曲线的参数方程，基本不等式的应用，考查转化思想，属于基础题．