Question

13．已知椭圆$C：\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的短轴长为2，且椭圆C的顶点在圆$M：{x^2}+{（{y-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）^2}=\frac{1}{2}$上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆的上焦点作相互垂直的弦AB，CD，求|AB|+|CD|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：b=1，由C的顶点在圆M上，则a=$\sqrt{2}$，即可求得椭圆方程；
（2）分类讨论，直线AB的斜率不存在或为零时，则丨AB丨+丨CD丨=3$\sqrt{2}$，当直线AB的斜率存在，代入椭圆方程方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得丨AB丨+丨CD丨，换元，根据t的取值范围，即可求得|AB|+|CD|的最小值．

解答 解：（1）由题意可知2b=2，b=1，由题意C的顶点在圆M上，则a=$\sqrt{2}$，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}=1$；
（2）当直线AB的斜率不存在或为零时，
丨AB丨+丨CD丨=3$\sqrt{2}$，
当直线AB的斜率存在，且不为零，直线AB的方程y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线CD的方程：y=-$\frac{1}{k}$x+1，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（k²+2）x²+2kx-1=0，
则x₁+x₂=-$\frac{2k}{{k}^{2}+2}$，x₁x₂=-$\frac{1}{{k}^{2}+2}$，
则丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}+2}$，同理可得：丨CD丨=$\frac{2\sqrt{2}（{k}^{2}+1）}{2{k}^{2}+1}$，
则丨AB丨+丨CD丨=$\frac{6\sqrt{2}（{k}^{2}+1）^{2}}{（2{k}^{2}+1）（{k}^{2}+2）}$，
令t=k²+1，则t＞1，则丨AB丨+丨CD丨=$\frac{6\sqrt{2}{t}^{2}}{（2t-1）（t+1）}$=$\frac{6\sqrt{2}}{（2-\frac{1}{t}）（1+\frac{1}{t}）}$，
2＜（2-$\frac{1}{t}$）（1+$\frac{1}{t}$）≤$\frac{9}{4}$，
∴$\frac{8\sqrt{3}}{3}$≤丨AB丨+丨CD丨＜3$\sqrt{2}$，
综上可知：$\frac{8\sqrt{3}}{3}$≤丨AB丨+丨CD丨≤3$\sqrt{2}$，
∴|AB|+|CD|的最小值$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查换元法的应用，考查计算能力，属于中档题．