Question

8．已知双曲线M：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的上焦点为F，上顶点为A，B为虚轴的端点，离心率e=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，且S_△ABF=1-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．抛物线N的顶点在坐标原点，焦点为F．
（1）求双曲线M和抛物线N的方程；
（2）设动直线l与抛物线N相切于点P，与抛物线的准线相交于点Q，则以PQ为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点？如果经过，试求出该点的坐标，如果不经过，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据双曲线的离心率公式及三角形的面积公式，即可求得a和b的值，即可求得双曲线的方程，求得焦点坐标，即可求得p的值，求得抛物线N的方程；
（2）利用导数求得切线方程，联立y=-2，即可求得Q点坐标，根据向量数量积的坐标，由$\frac{2-m}{8}$x₀²+m（m+2）-8=0，对任意实数x₀（x₀≠0）恒成立，即可求得m的值，即可求得以PQ为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点．

解答 解：（1）由双曲线M：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，①
三角形的面积S=$\frac{1}{2}$（c-a）b=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，②
由c²=a²+b²，③
解得：a=$\sqrt{3}$，b=1，c=2，
∴双曲线的标准方程：$\frac{{y}^{2}}{3}-{x}^{2}=1$，则双曲线的上焦点F（0，2），
则抛物线N的方程：x²=8y；
（2）由（1）可得抛物线N的方程：x²=8y，准线方程y=-2，
由y=$\frac{1}{8}$x²，y′=$\frac{1}{4}$x，设P（x₀，$\frac{1}{8}$x₀²），则直线l的方程y-$\frac{1}{8}$x₀²=$\frac{1}{4}$x₀（x-x₀），
即y=$\frac{1}{4}$x₀x-$\frac{1}{8}$x₀²，联立y=-2，则Q（$\frac{{x}_{0}^{2}-16}{2{x}_{0}}$，-2），
假设存在定点M（0，m）满足假设条件，则$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=0，对任意点恒成立，
则$\overrightarrow{MP}$=（x₀，$\frac{1}{8}$x₀²-m），$\overrightarrow{MQ}$=（$\frac{{x}_{0}^{2}-16}{2{x}_{0}}$，-2-m），
∴$\frac{{x}_{0}^{2}-16}{2}$-（m+2）（$\frac{1}{8}$x₀²-m）=0，即$\frac{2-m}{8}$x₀²+m（m+2）-8=0，对任意实数x₀（x₀≠0）恒成立，
$\left\{\begin{array}{l}{2-m=0}\\{m（m+2）-8=0}\end{array}\right.$，解得：m=2，
∴以PQ为直径的圆经过y轴上的定点M（0，2）．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，考查抛物线的性质，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．