Question

10．已知函数f（x）=ax²-e^x（a∈R）在（0，+∞）上有两个零点为x₁，x₂（x₁＜x₂）
（1）求实数a的取值范围；
（2）求证：x₁+x₂＞4．

Answer 1

分析 （1）问题转化为方程a=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$有两个根，等价于y=a与$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$有两个交点，即可求实数a的取值范围；
（2）解得：x₁=$\frac{2lnt}{t-1}$，x₂=$\frac{2tlnt}{t-1}$．要证明x₁+x₂＞4，即证明$\frac{2lnt}{t-1}$+$\frac{2tlnt}{t-1}$＞4，即证明lnt+tlnt＞2t-2，构造函数即可证明．

解答 （1）解：∵f（x）=ax²-e^x（a∈R）在（0，+∞）上有两个零点，
∴方程a=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$有两个根，等价于y=a与$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$有两个交点．
令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，则h′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-2）}{{x}^{3}}$，…（3分）
于是x∈（0，2）时，h′（x）＜0，即h（x）在（0，2）上单调递减；
当x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，即h（x）在（2，+∞）上单调递增，
∴h（x）_min=h（2）=$\frac{{e}^{2}}{4}$，
∴a的取值范围为（$\frac{{e}^{2}}{4}$，+∞）．  …（5分）
（2）证明：∵x₁，x₂（x₁＜x₂）是f（x）=ax²-e^x（a∈R）在（0，+∞）上的零点，
∴ax₁²=${e}^{{x}_{1}}$，ax₂²=${e}^{{x}_{2}}$，
两式相除可得（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）²=${e}^{{x}_{2}-{x}_{1}}$．  …（7分）
令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t（t＞1），①
上式变为t²=${e}^{{x}_{2}-{x}_{1}}$，即x₂-x₁=2lnt，②
联立①②解得：x₁=$\frac{2lnt}{t-1}$，x₂=$\frac{2tlnt}{t-1}$．  …（9分）
要证明x₁+x₂＞4，
即证明$\frac{2lnt}{t-1}$+$\frac{2tlnt}{t-1}$＞4，
即证明lnt+tlnt＞2t-2．
令h（t）=lnt+tlnt-2t+2，则h′（t）=$\frac{1}{t}$+lnt-1． …（10分）
令y=$\frac{1}{t}$+lnt-1，y′=$\frac{t-1}{{t}^{2}}$＞0，
故y=$\frac{1}{t}$+lnt-1在（1，+∞）上单调递增，故y＞0，即h′（t）＞0，
故h（t）在（1，+∞）上单调递增，故h（t）＞h（1）=0，
即lnt+tlnt＞2t-2，得证．  …（12分）

点评 本题主要考查了利用导函数判断函数的单调性，以及零点定理应用与构造函数等知识点，属较难题．