Question

5．已知f（x）=e^x，g（x）=lnx，若f（t）=g（s），则当s-t取得最小值时，f（t）所在区间是（　　）

• A． （ln2，1）
• B． （$\frac{1}{2}$，ln2）
• C． （$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{e}$）
• D． （$\frac{1}{e}$，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 求出s-t=e^a-lna，（a＞0），令h（a）=e^a-$\frac{1}{a}$，求出h（a）的最小值，验证即可．

解答 解：令f（t）=g（s）=a，即e^t=lns=a＞0，
∴t=lna，s=e^a，
∴s-t=e^a-lna，（a＞0），
令h（a）=e^a-lna，
h′（a）=e^a-$\frac{1}{a}$
∵y=e^a递增，y=$\frac{1}{a}$递减，
故存在唯一a=a₀使得h′（a）=0，
0＜a＜a₀时，e^a＜$\frac{1}{a}$，h′（a）＜0，
a＞a₀时，e^a＞$\frac{1}{a}$，h′（a）＞0，
∴h（a）_min=h（a₀），
即s-t取最小值是时，f（t）=a=a₀，
由零点存在定理验证${e}^{{a}_{0}}$-$\frac{1}{{a}_{0}}$=0的根的范围：
a₀=$\frac{1}{2}$时，${e}^{{a}_{0}}$-$\frac{1}{{a}_{0}}$＜0，
a₀=ln2时，${e}^{{a}_{0}}$-$\frac{1}{{a}_{0}}$＞0，
故a₀∈（$\frac{1}{2}$，ln2），
故选：B．

点评 本题考查了函数的零点问题，考查函数的单调性以及导数的应用，是一道中档题．