题目内容

18．某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为P和Q（万元），它们与投入资金m（万元）的关系有经验公式P=$\frac{1}{3}$m+65，Q=76+4$\sqrt{m}$，今将150万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投资金额不低于25万元．
（1）设对乙产品投入资金x万元，求总利润y（万元）关于x的函数关系式及其定义域；
（2）如何分配使用资金，才能使所得总利润最大？最大利润为多少？

分析 （1）根据题意，对乙种商品投资x（万元），对甲种商品投资（150-x）（万元），利用经验公式，可求经营甲、乙两种商品的总利润y（万元）关于x的函数表达式；
（2）利用配方法，可求总利润y的最大值．

解答 解：（1）根据题意，对乙种商品投资x（万元），对甲种商品投资（150-x）（万元）（25≤x≤125）．
所以y=$\frac{1}{3}$（150-x）+65+76+4$\sqrt{x}$----------------------（4分）
其定义域为[25，125]-----------------------（6分）
（2）令t=$\sqrt{x}$，
因为x∈[25，125]，
所以t∈[5，5$\sqrt{5}$]，有y=-$\frac{1}{3}（t-6）^{2}$+203------（12分）
所以当t=6时，即x=36时，ymax=203-------------（14分）
答：当甲商品投入114万元，乙商品投入36万元时，总利润最大为203万元．---------（16分）

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的最值，正确建立函数解析式是关键．

练习册系列答案
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