Question

已知抛物线C₁：x²=y，圆C₂：x²+（y-4）²=1．
（1）在抛物线C₁上取点M，C₂的圆周取一点N，求|MN|的最小值；
（2）设P（x₀，y₀）（2≤x₀≤4）为抛物线C₁上的动点，过P作圆C₂的两条切线，交抛物线C₁于A，B两点．求AB的中点D的横坐标的取值范围．

Answer 1

考点：圆与圆锥曲线的综合

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出M的坐标，由圆C₂：x²+（y-4）²=1可知圆心C₂（0，4），写出|MC₂|，利用配方法求其最小值，
则|MN|的最小值为|MC₂|的最小值减去圆的半径；
（2）设出P，A，B的坐标，再设过点P的圆C₂的切线方程为y-x₀²=k（x-x₀），由点到直线的距离公式得到方程(x02-1)k2+2x0(4-x02)k+(x02-4)2-1=0，则其两根为PA，PB的斜率，利用根与系数关系得到其两根和，再把y-x₀²=k（x-x₀）代入y=x²得，x2-kx+kx0-x02=0，结合x₀是此方程的根得到x₁=k₁-x₀，x₂=k₂-x₀，然后把AB的中点D的横坐标x用含有x₀的代数式表示，再利用单调性结合x₀的范围求得AB的中点D的横坐标的取值范围．

解答： 解：（1）设M（x，y），由圆C₂：x²+（y-4）²=1可知圆心C₂（0，4），
则|MC₂|=

x2+(y-4)2

=

x2+(x2-4)2

=

x2+x4-8x2+16

=

(x2- 7 2 )2+ 15 4

≥

15

2

．
当且仅当M（±

14

2

，

7

2

）时取“=”，
∴|MN|的最小值为

15

2

-1；
（2）设P（x₀，x02），A(x1，x12)，B(x2，x22)，
再设过点P的圆C₂的切线方程为y-x₀²=k（x-x₀），①
则

|kx0+4-x02|

1+k2

=1，
即(x02-1)k2+2x0(4-x02)k+(x02-4)2-1=0，
设PA，PB的斜率为k₁，k₂（k₁≠k₂），则k₁，k₂是上述方程的两根，
∴k1+k2=

2x0(x02-4)

x02-1

，k1k2=

(x02-4)2-1

x02-1

，
将①代入y=x²得，x2-kx+kx0-x02=0，
由于x₀是此方程的根，故x₁=k₁-x₀，x₂=k₂-x₀，
∴AB的中点D的横坐标x=

x1+x2

2

=

k1+k2-2x0

2

=

2x0(x02-4) x02-1 -2x0

2

=

3x0

1-x02

=

3

1 x0 -x0

．
∵y=

1

x0

-x0是[2，4]上的减函数，且2≤x₀≤4，
∴y∈[-

15

4

，-

3

2

]，
则x∈[-2，-

4

5

]．

点评：本题主要考查圆与圆锥曲线的综合问题，其中涉及到直线与圆相切的问题，考查了学生的逻辑思维能力和运算能力，是压轴题．