Question

已知直角坐标平面上一动点P到点F（1，0）的距离比它到直线x=-2的距离小1．求动点p的轨迹方程；直线l过点A（-1，0）且与点P的轨迹交于不同的两点M、N，若△MFN的面积为4，求直线l的方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用抛物线的定义，求出抛物线的方程，设直线方程为y=k（x+1），代入抛物线方程可得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，利用韦达定理，结合△MFN的面积为4，求直线l的方程．

解答： 解：设P（x，y），由已知平面上动点P到点F（1，0）的距离等于它到直线x=-1的距离，
∴点P满足抛物线定义，点P的轨迹为焦点在x轴正半轴的抛物线，p=2，
∴点P的轨迹方程为y²=4x．
设直线方程为y=k（x+1），代入抛物线方程可得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=2-

4

k2

，x₁x₂=1，
∴MN=

1+k2

•

(2- 4 k2 )2-4

=

4

k2

•

(1+k2)(1-k2)

，
∵△MFN的面积为4，F到直线的距离为

2k

1+k2

∴

1

2

×

4

k2

•

(1+k2)(1-k2)

×

2k

1+k2

=4
∴k=±

2

2

，
∴直线方程为y=±

2

2

（x+1）．

点评：本题考查的知识点是直线的一般式方程，抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，关键是“设而不求”+“联立方程”+“韦达定理”．