Question

已知函数f（x）=ax³+bx²的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．
（1）求实数a、b的值；
（2）求函数f（x）在[-1，3]上的最值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）由f（x）=ax³+bx²求导f′（x）=3ax²+2bx，从而得到f（1）=a+b=4，f′（1）=3a+2b=9；从而求解．
（2）由导数f′（x）=3x²+6x=3x（x+2）的正负确定函数的单调性，从而求最值．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³+bx²，f′（x）=3ax²+2bx，
∴f（1）=a+b=4，f′（1）=3a+2b=-

1

- 1 9

=9；
解得，a=1，b=3；
（2）f（x）=x³+3x²，f′（x）=3x²+6x=3x（x+2）；
故函数f（x）在[-1，0]上单调递减，在[0，3]上单调递增，
而f（-1）=-1+3=2，
f（0）=0，
f（3）=27+27=54；
故函数f（x）在[-1，3]上的最大值为54，最小值为0．

点评：本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，属于中档题．