Question

已知f（x）=x²+bx+c为偶函数，曲线y=f（x）过点（2，5），g（x）=（x+a）f（x），g（x）的导函数为g′（x）
（Ⅰ）若曲线y=g（x）有斜率为0的切线，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若g′（-1）=0，求y=g（x）的单调区间．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）据偶函数的定义f（-x）=f（x）求出b值，将点（2，5）代入得c值，据导数在切点处的导数值为切线斜率，有g′（x）=0有实数解，由△≥0得范围．
（Ⅱ）函数在极值点处的导数值为0，导数大于0对应区间是单调递增区间；导数小于0对应区间是单调递减区间．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+bx+c为偶函数，故f（-x）=f（x），
即有（-x）²+b（-x）+c=x²+bx+c，解得b=0，
又曲线y=f（x）过点（2，5），得2²+c=5，有c=1，
∵g（x）=（x+a）f（x）=x³+ax²+x+a，
从而g′（x）=3x²+2ax+1，
∵曲线y=g（x）有斜率为0的切线，故有g′（x）=0有实数解．
即3x²+2ax+1=0有实数解．
此时有△=4a²-12≥0解得
a∈（-∞，-

3

]∪[

3

，+∞）
所以实数a的取值范围：a∈（-∞，-

3

]∪[

3

，+∞）；
（Ⅱ）因x=-1时函数y=g（x）取得极值，故有g′（-1）=0，即3-2a+1=0，解得a=2
又g′（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1），
令g′（x）=0，得x₁=-1，x₂=-

1

3

，
当x∈（-∞，-1）时，g′（x）＞0，故g（x）在（-∞，-1）上为增函数，
当x∈（-1，-

1

3

）时，g′（x）＜0，故g（x）在（-1，-

1

3

）上为减函数，
当x∈（-

1

3

，+∝）时，g′（x）＞0，故g（x）在（-

1

3

，+∝）上为增函数．

点评：本题考查偶函数的定义；利用导数几何意义求曲线切线方程；利用导数求函数单调区间．