Question

【题目】如图，四棱锥中，底面为直角梯形，∥，，，，为的中点.

（Ⅰ）证明：∥平面；

（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（I）见解析；

（II）

【解析】

（Ⅰ）取BC的中点G，连接FG，EG，证明四边形EGCD为平行四边形，得EG∥平面ACD，再证明FG∥平面ACD，可得平面EFG∥平面ACD，从而得到EF∥平面ACD；

（Ⅱ）求解三角形证明BA⊥AE，取BE的中点H，连接AH，HC，证明AH⊥平面BCDE．以H为坐标原点，以过点H且平行于CD的直线为x轴，以过点H且平行于BC的直线为y轴，HA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出平面ACD的一个法向量，再求出直线BC的方向向量，由两向量所成角的余弦值可得直线BC与平面ACD所成角的正弦值．

解：证明：（I）作中点，连接，则，

又，四边形为平行四边形，

故，则平面，

又为的中点，，则平面，

又，平面平面，

平面，

平面

（II），，，，

，则，

又，，则，

作中点，连接，，

，，

又，，即，

又，平面.

以为坐标原点，以过点且平行于的直线为轴，以过点且平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

可得，，，，

，

设为平面的一个法向量，

则即

可得，

直线的方向向量，

设与平面所成角为，

则，

综上，直线与平面所成角的正弦值为.