Question

在△ABC中，已知B（-8，0），C（8，0），AC、AB边上的中线分别为BD，CE，若|

BD

|+|

CE

|=30，则BD，CE的交点G的轨迹方程为

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意得出G点为△ABC的重心，结合

BD

|+|

CE

|=30，算出|GB|+|GC|=20，从而得到G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆．利用椭圆的基本量结合题中数据算出椭圆方程，结合三角形的三个顶点不共线，可得所求点G的轨迹方程．

解答： 解：∵△ABC的边AB和AC边上的中线交于G，
∴G点为△ABC的重心，
∵|

BD

|+|

CE

|=30，可得|GB|+|GC|=20，
∴G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，2a=20，c=8
可得a=10，b²=a²-c²=36
∴椭圆的方程为

x2

100

+

y2

36

=1，
由三角形ABC中，A点不在直线BC上，可得x≠±10
因此，点G的轨迹方程为

x2

100

+

y2

36

=1（x≠±10）．
故答案为：

x2

100

+

y2

36

=1（x≠±10）．

点评：本题给出三角形的重心满足的条件，求点G的轨迹方程．着重考查了三角形重心的性质、椭圆的定义与标准方程等知识，属于中档题．