Question

已知f（x）是R上的函数，f（xy）=f（x）+f（y），求证：f（x）是偶函数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：根据题意，对x、y赋值，得出f（0）=0，f（1）=0，f（-1）=0，且f（-x）=f（x），即证f（x）是偶函数．

解答： 解：根据题意，令x=y=0，
∴f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0；
令x=y=1，
∴f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0；
令x=y=-1，
∴f（1）=f（-1）+f（-1）=0，∴f（-1）=0；
令y=-1，∴f（-x）=f（x）+f（-1），∴f（-x）=f（x）；
∴f（x）是偶函数．

点评：本题考查了用赋值法证明函数的奇偶性问题，解题时应选择适当的数值，以便得出目标式f（-x）=f（x），是易错题．