Question

若数列{a_n}满足a₁=a且a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n-1（其中a为常数），S_n是数列{a_n}的前n项和，数列{b_n}满足b_n=a_2n．
（1）求a₁+a₃的值；
（2）试判断{b_n}是否为等差数列，并说明理由；
（3）求S_n（用a表示）．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：综合题

分析：（1）由题意，得

a2-a1=1 a3+a2=3

，求出a₁+a₃的值．
（2）由已知仿写得

a2n+1+a2n=4n-1 a2n+2-a2n+1=4n+1

，相加得b_n+b_n+1=8n，仿写得b_n-1+b_n=8n-8，两式相减判定出数列{b_n}为等差数列，
（3）由an+1+(-1)nan=2n-1得出a_4n-3+a_4n-2+a_4n-1+a_4n=16n-6，得出S4n=

1

2

(10+16n-6)n=8n2+2n．

解答： 解：（1）由题意，得

a2-a1=1 a3+a2=3

，
∴a₁+a₃=2．…（4分）
（2）∵an+1+(-1)nan=2n-1，
∴

a2n+1+a2n=4n-1 a2n+2-a2n+1=4n+1

，
∴a_2n+a_2n+2=8n，即b_n+b_n+1=8n，
∴b_n-1+b_n=8n-8，
∴b_n+1-b_n-1=8，于是当且仅当b₁，b₂，b₃为等差数列，数列{b_n}为等差数列，…（7分）
又

a2n+1+a2n=4n-1 a2n-a2n-1=4n-3

，
∴a_2n+1+a_2n-1=2，∵a₁=a，
∴a₃=2-a，
∴b₁=a+1，b₂=7-a，b₃=9+a，由b₁，b₂，b₃为等差数列，得a=1，
∴当a=1时，数列{b_n}为等差数列；当a≠1时，数列{b_n}不为等差数列．…（10分）
（3）∵an+1+(-1)nan=2n-1，
∴an+2+(-1)n+1an+1=2n+1，
∴(-1)nan+1+(-1)2nan=(-1)n(2n-1)，即(-1)nan+1+an=(-1)n(2n-1)，
∴an+2+an=2n+1+(-1)n(2n-1)，
∴an+3+an+1=2n+3+(-1)n+1(2n+1)
∴an+an+1+an+2+an+3=4n+4-2(-1)n，
∴a_4n-3+a_4n-2+a_4n-1+a_4n=16n-6，
∴S4n=

1

2

(10+16n-6)n=8n2+2n．…（13分）
由（2）a_2n+1+a_2n-1=2，
∴a_2n+3+a_2n+1=2，a_2n-1+a_2n-3=2，
a_2n+3=a_2n-1，a_2n+1=a_2n-3
∵a₁=a，
∴a_4n-3=a，a_4n-1=2-a，
由a_2n-a_2n-1=4n-3，
∴a_4n-2-a_4n-3=8n-7，
∴a_4n-2=8n-7+a，
又a_2n+a_2n+2=8n，
∴a_4n-2+a_4n=16n-8，a_4n=8n-1-a，
∴S4n-1=8n2-6n+1+a，S4n-2=8n2-6n-1+2a，S4n-3=8n2-14n+6+a，
∴

Sn= 1 2 n2- 1 2 n+a(n=4k-3) 1 2 n2+ 1 2 n-2+2a(n=4k-2) 1 2 n2- 1 2 n+a(n=4k-1) 1 2 n2+ 1 2 n(n=4k) ，(k∈N*)

…（16分）

点评：本题考查数列通项公式求解，数列求和，考查了裂项、叠加，错位相消法在数列问题中的应用体现．属于一道综合题．