Question

已知sinx-cosx=t
（Ⅰ）用t表示sin³x-cos³x的值；
（Ⅱ）求函数y=sinx-cosx+sinxcosx，x∈[0，π]的最大值和最小值．（参考公式：a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²））

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：由sinx-cosx=t，两边平方，利用同角三角函数间基本关系化简表示出sinxcosx，
（Ⅰ）原式利用立方差公式化简后，将表示出的sinx-cosx与sinxcosx代入即可表示sin³x-cos³x；
（Ⅱ）已知等式左边变形后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定t的范围，即可求出y的最大值与最小值．

解答： 解：由sinx-cosx=t，得1-2sinxcosx=t²，即sinxcosx=

1-t2

2

，
（Ⅰ）sin³x-cos³x=（sinx-cosx）（1+sinxcosx）=t（1+

1-t2

2

）=

3t-t3

2

；
（Ⅱ）由题设知：t=

2

sin（x-

π

4

），-

π

4

≤x-

π

4

≤

3π

4

，
∴-

2

2

≤sin（x-

π

4

）≤1，
∴y=t+

1-t2

2

=-

1

2

t²+t+

1

2

=-

1

2

（t-1）²+1，且t∈[-1，

2

]，
∴当t=1时，y_max=1；当t=-1时，y_min=-1．

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．