Question

已知函数f（x）=log_a（ax²-x+

1

2

）（a＞0且a≠1）在[1，2]上恒正，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：空间位置关系与距离

分析：分0＜a＜1和a＞1两种情况，结合函数f（x）=log_a（ax²-x+

1

2

）（a＞0且a≠1）在[1，2]上恒正，将问题转化为恒成立问题，求出相应的满足条件的实数a的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：若0＜a＜1，
由函数f（x）=log_a（ax²-x+

1

2

）在[1，2]上恒正可得：
0＜ax²-x+

1

2

＜1在[1，2]上恒成立，
解得：a∈（

1

2

，

5

8

），
若a＞1，
由函数f（x）=log_a（ax²-x+

1

2

）在[1，2]上恒正可得：
ax²-x+

1

2

＞1在[1，2]上恒成立，
解得：a∈（

3

2

，+∞）
综上所述，实数a的取值范围为：（

1

2

，

5

8

）∪（

3

2

，+∞），
故答案为：（

1

2

，

5

8

）∪（

3

2

，+∞）

点评：本题考查的知识点是对数函数图象与性质，恒成立问题，有一定的综合性，考查了转化思想，函数也方程思想和分类讨论思想，难度中档．