Question

已知x²+y²=2，且|x|≠|y|，求

1

(x+y)2

+

1

(x-y)2

的最小值．

Answer 1

考点：一般形式的柯西不等式

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：方法一、运用换元法，令u=x+y，v=x-y，由条件得到u²+v²=4，从而运用柯西不等式求出最小值；
方法二、由条件得到（x+y）²+（x-y）²=4，再根据柯西不等式求出最小值，注意等号成立的条件．

解答： 解法1：令u=x+y，v=x-y，则x=

u+v

2

，y=

u-v

2

，
∵x²+y²=2，∴（u+v）²+（u-v）²=8，∴u²+v²=4，
由柯西不等式得：(

1

u2

+

1

v2

)(u2+v2)≥4，
当且仅当u²=v²=2，即x=±

2

，y=0，或x=0，y=±

2

时，

1

(x+y)2

+

1

(x-y)2

的最小值是1．
解法2：∵x²+y²=2，∴（x+y）²+（x-y）²=4，
∵((x+y)2+(x-y)2)(

1

(x+y)2

+

1

(x-y)2

)≥4，
∴

1

(x+y)2

+

1

(x-y)2

≥1，
当且仅当x=±

2

，y=0，或x=0，y=±

2

时  

1

(x+y)2

+

1

(x-y)2

的最小值是1．

点评：本题考查一般形式的柯西不等式的运用，注意观察和变形，同时注意等号成立的条件和最值的取得．