Question

设数列的首项a₁=a（a≠

1

4

），a_n+1=

1 2 an，n=2k an+ 1 4 ，n=2k-1

（k∈N^*），且b_n=a_2n-1-

1

4

（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃；
（2）判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）求

lim

n→∞

（b₁+b₂+…+b_n）．

Answer 1

考点：数列的极限,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用a_n+1=

1 2 an，n=2k an+ 1 4 ，n=2k-1

（k∈N^*），分别取n=1，2即可得出；
（2）由于b_n=a_2n-1-

1

4

（n∈N^*），可得b_n+1=a2n+1-

1

4

=

1

2

a2n-

1

4

=

1

2

(a2n-1+

1

4

)-

1

4

=

1

2

(a2n-1-

1

4

)=

1

2

bn，即可证明数列{b_n}是等比数列．
（3）由（2）可得b_n=(a-

1

4

)•(

1

2

)n-1．再利用等比数列的前n项和公式及其数列极限的运算法则即可得出．

解答： 解：（1）∵a_n+1=

1 2 an，n=2k an+ 1 4 ，n=2k-1

（k∈N^*），a₁=a．
∴a₂=a1+

1

4

=a+

1

4

，a3=

1

2

a2=

1

2

a+

1

8

．
（2）数列{b_n}是等比数列，下面给出证明．
∵b_n=a_2n-1-

1

4

（n∈N^*），
∴b_n+1=a2n+1-

1

4

=

1

2

a2n-

1

4

=

1

2

(a2n-1+

1

4

)-

1

4

=

1

2

(a2n-1-

1

4

)=

1

2

bn，
∴数列{b_n}是等比数列，首项b₁=a1-

1

4

=a-

1

4

(a≠

1

4

)，公比为

1

2

．
（3）由（2）可得b_n=(a-

1

4

)•(

1

2

)n-1．
∴b₁+b₂+…+b_n=

(a- 1 4 )(1- 1 2n )

1- 1 2

=2(a-

1

4

)(1-

1

2n

)．
∴

lim

n→∞

（b₁+b₂+…+b_n）=

lim

n→∞

2(a-

1

4

)(1-

1

2n

)=2a-

1

2

．

点评：本题考查了分段数列的意义、等比数列的通项公式及其前n项和公式、数列极限的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于难题．