Question

13．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，抛物线y²=4x与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且|PF₁|=$\frac{7}{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）探照灯的轴截面是一抛物线，如图所示表示平行于x轴的光线于抛物线上的点P，Q的反射情况，光线PQ过焦点F，如图所示，若抛物线y²=4x，设点P的纵坐标为a（a＞0），问a取何值时，从入射点P到反射点Q的光线的路程PQ最短．

Answer 1

分析 （I）求得抛物线的焦点，可得c=1，设P为（$\frac{{m}^{2}}{4}$，m），由椭圆的焦半径公式可得|PF₁|=a+$\frac{1}{a}$•$\frac{{m}^{2}}{4}$=$\frac{7}{3}$，由椭圆和抛物线的定义可得，2a=$\frac{7}{3}$+$\frac{{m}^{2}}{4}$+1，解方程可得a=2，由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设PQ方程为x=my+1，代入抛物线方程，由韦达定理求得y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4，由弦长公式可知丨PQ丨=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=4（1+m²），即当m=0时，即a=2时，丨PQ丨取得最小值，最小值为4．

解答 解：（Ⅰ）由抛物线y²=4x焦点坐标为（1，0），即c=1，
设P为（$\frac{{m}^{2}}{4}$，m），
由椭圆的焦半径公式可得，|PF₁|=a+$\frac{1}{a}$•$\frac{{m}^{2}}{4}$=$\frac{7}{3}$，
由椭圆和抛物线的定义可得，2a=$\frac{7}{3}$+$\frac{{m}^{2}}{4}$+1，
解得：a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）由F（1，0），设直线PQ方程为x=my+1，
$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：y²-4my-4=0，
由韦达定理可知：y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4，
丨PQ丨=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{16{m}^{2}+16}$，
=4（1+m²），
∴当m=0时，即a=2时，丨PQ丨取得最小值，最小值为4．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，考查焦半径公式和抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，弦长公式，考查计算能力，属于中档题．