Question

4．如图，已知平面α∩β=l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．

Answer 1

分析 推导出AB与l一定相交．设AB∩l=P，则P∈AB，P∈l，则点P是平面ABC与β的一个公共点，从而直线PC就是平面ABC与β的交线，由此能证明平面ABC与β的交线与l相交．

解答 解：平面ABC与平面β的交线与l相交．
证明∵AB与l不平行，且AB?α，l?α，
∴AB与l一定相交．设AB∩l=P，则P∈AB，P∈l．
又∵AB?平面ABC，l?β，∴P∈平面ABC，P∈β．
∴点P是平面ABC与β的一个公共点．
而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C是不同的两点，
∴直线PC就是平面ABC与β的交线，
即平面ABC∩β=PC，而PC∩l=P．
∴平面ABC与β的交线与l相交．

点评 本题考查两平面的交线与已知直线的位置关系的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．