Question

18．已知函数f（x）=$\frac{ax}{{1+{x^2}}}$是定义在（-1，1）上的函数，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$．
（Ⅰ）求a的值并判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）证明函数f（x）在（-1，1）上是增函数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$．可求a的值，再由奇偶性的定义，可判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）证法一：设-1＜x₁＜x₂＜1，作差判断f（x₁）的f（x₂）大小，根据单调性的定义，可得：函数f（x）在（-1，1）上是增函数f（x₁）＜f（x₂），
证法二：求导，由当x∈（-1，1）时，f′（x）＞0恒成立，可得：函数f（x）在（-1，1）上是增函数

解答 解（Ⅰ）∵函数f（x）=$\frac{ax}{{1+{x^2}}}$满足f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$．
∴$\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{5}{4}}$=$\frac{2}{5}$．
解得：a=1，
∴函数f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$的定义域R关于原点对称，
又由$f（-x）=\frac{-x}{{{x^2}+1}}=-f（x）$，
∴f（x）为奇函数…（3分）
（Ⅱ）证法一：设-1＜x₁＜x₂＜1，
则x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，
∴$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{（{x_1}-{x_2}）（1-{x_1}{x_2}）}}{（1+x_1^2）（1+x_2^2）}$＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在（-1，1）上是增函数…（8分）
证法二：∵f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$，
∴f′（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{（1+{x}^{2}）^{2}}$，
当x∈（-1，1）时，
f′（x）＞0恒成立，
∴函数f（x）在（-1，1）上是增函数…（8分）

点评 本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．