Question

3．已知直线l：mx-（m²+1）y=3（m≥0）．
（1）求直线l斜率的取值范围；
（2）若直线l被圆C：x²+y²-2y-8=0截得的弦长为4，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出直线的斜率，分类讨论，结合基本不等式，求直线l斜率的取值范围；
（2）先求出圆心到直线的距离得弦心距，求出圆的半径，利用勾股定理求出m的值，即可求直线l的方程．

解答 解：（1）直线l：mx-（m²+1）y=3的斜率为k=$\frac{m}{{m}^{2}+1}$
m=0，k=0；
m＞0，0＜$\frac{1}{m+\frac{1}{m}}$≤$\frac{1}{2}$
∴0≤k≤$\frac{1}{2}$；
（2）圆C：x²+y²-2y-8=0可变为x²+（y-1）²=9，故圆心坐标为（0，1），半径为3．
因为直线l被圆C：x²+y²-2y-8=0截得的弦长为4，
所以圆心到直线l：mx-（m²+1）y=3的距离是$\sqrt{5}$
所以$\frac{|{m}^{2}+1+3|}{\sqrt{{m}^{2}+（{m}^{2}+1）^{2}}}=\sqrt{5}$，
所以m=±1，
所以直线l的方程为±x-2y=3．

点评 本题考查直线与圆相交的性质，解题的关键是了解直线与圆相交的性质，半径，弦心距，弦长的一半构成一个直角三角形，掌握点到直线的公式，会用它求点直线的距离．