Question

已知函数f(x)=loga(ax2-x+

1

2

)在x∈（1，2]上的函数值恒为正数，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,对数函数的定义域,对数函数的值域与最值

专题：计算题,分类讨论

分析：欲使函数f(x)=loga(ax2-x+

1

2

)在x∈（1，2]上的函数值恒为正数，就a的值分情况讨论，转化成 ax2-x+

1

2

＞1（或＜1）在x∈（1，2]上的恒成立，根据函数

1 2

x 2

+

1

x

在（1，2]上的单调性求出最大（小）值即可得到实数a的取值范围．

解答： 解：欲使函数f(x)=loga(ax2-x+

1

2

)在x∈（1，2]上的函数值恒为正数，
（1）当a＞1时，转化成 ax2-x+

1

2

＞1在x∈（1，2]上的恒成立，
即a＞

1 2

x 2

+

1

x

由于函数

1 2

x 2

+

1

x

在（1，2]上的最大值为

3

2

，
∴a＞

3

2

；
（2）当0＜a＜1时，转化成0＜ax2-x+

1

2

＜1在x∈（1，2]上的恒成立，
即a＜

1 2

x 2

+

1

x

且a＞-

1 2

x 2

+

1

x

由于函数

1 2

x 2

+

1

x

在（1，2]上的最小值为

5

8

，
且函数-

1 2

x 2

+

1

x

在（1，2]上的最大值为

1

2

∴

1

2

＜a＜

5

8

；
综上所述，实数a的取值范围是：a＞

3

2

或

1

2

＜a＜

5

8

．

点评：本题主要考查了二次函数恒成立问题，以及函数的单调性等有关基础知识，同时考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题．