Question

已知椭圆C：

x2

16

+

y2

9

=1，直线l：（2m+1）x+（1-m）y-5m-4=0（m∈R）
（1）证明：不论m取任何实数，直线l与椭圆C恒交于两点；
（2）设直线l与椭圆C的两个交点为A．B，M为弦AB的中点，O为坐标原点，当m∈R且m≠-

1

2

，m≠1时，记直线l的斜率为k_AB，直线OM的斜率为k_OM，求证：k_ABk_OM为定值．

Answer 1

考点：圆锥曲线的综合

专题：常规题型,综合题

分析：（1）直线l：（2m+1）x+（1-m）y-5m-4=0（m∈R）必过点（3，1），而此点（3，1）在椭圆C内，即可得出不论m取任何实数，直线l与椭圆C恒交于两点；
（2）设出A，B两点的坐标求出中点M的坐标，根据题意表示出k_ABk_OM=

y 2 2 - y 2 1

x 2 2 - x 2 1

，再利用点在椭圆上点的坐标适合椭圆方程代入可得答案．

解答： 解：（1）∵直线l：（2m+1）x+（1-m）y-5m-4=0（m∈R）可化为：
m（2x-y-5）+（x+y-4）=0，
由

2x-y-5=0 x+y-4=0

得：

x=3 y=1

故直线必过点（3，1），而此点（3，1）在椭圆C内，
∴不论m取任何实数，直线l与椭圆C恒交于两点；
（2）由题意得：设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），则中点M（

x1+ x2

2

，

y1+ y2

2

），
所以k_AB=

y2- y1

x2-x1

，k_OM=

y2+ y1

x2+x1

，
所以k_AB•k_OM=

y 2 2 - y 2 1

x 2 2 - x 2 1

，
又因为点A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）在椭圆上
所以9x₁²+16y₁²=144，9x₂²+16y₂²=144，
所以得9（x₂²-x₁²）+16（y₂²-y₁²）=0，
所以

y 2 2 - y 2 1

x 2 2 - x 2 1

=-

9

16

．
故k_ABk_OM为定值-

9

16

．

点评：解决此类题目的关键是利用设而不求的方法，即设出点的坐标而不求点的坐标直接根据题意写出表达式进行整体求解，此种方法在圆锥曲线部分常见．